Kurt Gödel Facts


O matemático e filósofo cientista austríaco-americano Kurt Gödel (1906-1978) desenvolveu a célebre “prova de Gödel” que forneceu uma extraordinária visão da base do pensamento matemático e revolucionou a lógica moderna.<

Kurt Gödel nasceu em 28 de abril de 1906, em Brno, agora na República Tcheca, mas então parte da Áustria-Hungria. Seu pai era um fabricante de têxteis de boa qualidade e sua vida com seus pais e seu irmão tem sido descrita como “feliz”. Sua natureza inquisitiva aos 6 anos de idade lhe rendeu o nome de família “Sr. Por quê”. Aos 14 anos de idade ele se interessou pela matemática e, um ano mais tarde, pela filosofia. Aos 17 anos, ele dominou a matemática de nível universitário e se destacou também em outras matérias, disse seu irmão Rudolph, “havia rumores de que em todo o seu tempo na escola secundária não só seu trabalho em latim sempre recebeu as melhores notas, mas que ele não havia cometido um único erro gramatical”

Gödel entrou na Universidade de Viena para estudar física teórica; dois anos depois, ele passou para a matemática, e depois para a lógica matemática. Ele ingressou na faculdade universitária em 1930, após receber seu doutorado. Em 1931 Gödel publicou “On Formally Undecipherable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems”. Era um trabalho extremamente especializado, mas atraiu a atenção desde cedo e ficou conhecido como a prova de Gödel. Gödel era de 25,

A prova de Gödel nega a possibilidade de que um sistema matemático apoiado em axiomas possa ser verificado dentro desse sistema e termina 100 anos de tentativas de investigação matemática anterior para estabelecer um sistema de axiomas que poderia incorporar todo o raciocínio matemático, ou seja, colocar toda a matemática sobre uma base axiomática. Este trabalho tinha sido levado a um alto nível de realização nas seções sobre a lógica elementar das proposições em Bertrand Russell’s Principia Mathematica, e aparentemente tinha sido concluído nas brilhantes realizações de David Hilbert em seu “período axiomático” de 1922 a 1930.

Gödel concebeu um método de conversão dos símbolos da lógica matemática em números (números de Gödel) de modo a obter a aritmetização de declarações metamathematicais, ou seja, declarações sobre arranjos matemáticos e fórmulas. Ele foi capaz de ilustrar como uma afirmação metamathematical pode ser demonstrada mesmo quando postula sua própria indemonstrabilidade. A partir disto, concluiria que qualquer fórmula aritmética é indecidível com base em qualquer raciocínio metamatemático que poderia ser representado aritmeticamente. No

Ao mesmo tempo, poderia ser demonstrado que uma fórmula não demonstrável pode ser estabelecida como uma verdade aritmética.

Gödel mostrou nesta cadeia altamente complexa de raciocínio que não é possível provar a autoconsistência de um sistema com base em declarações metamátemáticas, a não ser indo para fora desse sistema para os métodos de prova. Além disso, ele mostrou que declarações podem ser construídas dentro de um sistema que não pode ser provado nem refutado dentro desse sistema, mas que podem ser mostradas como verdades aritméticas. Estas conclusões revolucionaram o pensamento matemático e estimularam o ramo da matemática conhecido como teoria da prova.

A vida da Gödel foi dedicada à atividade de fazer um trabalho teórico fundamental. Seu trabalho em lógica matemática durou até 1942, quando se ocupou principalmente com filosofia, estudando intensamente Leibniz (com quem se identificou de perto), Kant, e Husserl, até sua morte em 1978. Gödel chegou ao Instituto de Estudos Avançados em Princeton, NJ, no outono de 1933, onde conheceu Einstein pela primeira vez, e ali lecionou durante vários meses em 1934. Ele se casou em Adele Porkert, Viena, em 1938. Depois de várias viagens entre Princeton e Viena, os Gödel mudaram-se para Princeton permanentemente em 1940. Ele se tornou membro permanente do Instituto em 1946 e foi nomeado para uma cátedra em 1953.

Gödel se distanciou dos assuntos do mundo e participou de quase nenhuma atividade prática: tais eram as exigências de sua concentração no trabalho teórico fundamental. Ele se restringiu a poucos contatos com o mundo exterior e com a maioria de seus habitantes. Ele estava inclinado à cautela e à privacidade; ele evitava controvérsias e parecia ser “excepcionalmente sensível” às críticas. Ele publicou pouco (mas deixou um grande corpo de notas e trabalhos inéditos), deu palestras pouco freqüentes, aceitou poucos convites e não gostou de viajar a ponto de declinar vários graus honoríficos porque aceitá-los significava viajar. Ele não estava interessado em operar veículos motorizados. Seus poucos interesses eram em arte surrealista e abstrata, seus escritores favoritos incluíam Goethe e Franz Kafka, ele gostava de clássicos leves e algumas músicas ‘pop’ e filmes da Disney, especialmente Snow White.

Gödel e Einstein se encontraram iguais intelectuais e, como aconteceu, compartilharam a mesma bagagem cultural. A partir de 1942 em Princeton, eles viram e conversaram um com o outro quase diariamente até a morte de Einstein em 1955. Einstein disse a um colega que nos últimos anos de sua vida, seu próprio trabalho já não significava muito e “que ele veio para o Instituto apenas para ter o privilégio de poder caminhar para casa com Gödel”

O físico do Gödel era frágil e ele estava com saúde relativamente precária durante grande parte de sua vida, sofrendo às vezes de depressão suficiente para ser hospitalizado. O irmão de Gödel, um médico, observou que a dieta de Kurt era excessivamente severa e prejudicial. Gödel não obedeceu às ordens do médico, “mesmo no ponto em que a maioria das pessoas obedeceria”, e ele mesmo admitiu que era um paciente difícil. Acreditava-se amplamente que ele era paranóico e estava constantemente preocupado com intoxicações alimentares. Em 1978, ele morreu de desnutrição e “inanição” (fome) causada por “um distúrbio de personalidade” (de acordo com seu atestado de óbito).

Desde sua morte, a fama de Gödel se espalhou mais amplamente, começando quase imediatamente com a publicação de 1979 de Douglas R. Hofstader’s Godel, Escher e Bach. O matemático John von Neumann chamou a realização de Gödel na lógica moderna de “um marco que permanecerá visível longe no espaço no tempo”. George Zebrowski havia dito que “nenhum outro exemplo de pensamento humano é tão abrangente quanto a prova de Gödel”. O amigo e biógrafo de Gödel Hao Wang observa que para encontrar trabalho de caráter comparável tanto na ciência quanto na filosofia, “é preciso voltar a Descartes (1596-1650) e Leibniz (1646-1716), e acrescenta que pode levar “centenas de anos” para a confirmação ou refutação mais definitiva de algumas das conjecturas maiores [de Gödel]”

Em termos leigos, o que Gödel fez foi mostrar conclusivamente que os humanos não vivem em um universo no qual eles podem resolver todos os problemas e aprender tudo. Isso nunca pode ser feito porque o universo é infinito e as mentes humanas não são. De certa forma, a prova de Gödel é uma verdade sobre sistemas de pensamento, não sobre o universo; é sobre mapas, e não sobre o território que eles representam. O que Gödel se propôs a provar é que o território real sempre transcenderá o mapa.

Como disse um escritor, “Coisas imprevisíveis acontecem a seres finitos”. A prova de Gödel sugere um universo que é uma existência aberta, infinita, eterna, não requerendo nenhum começo, e neste universo nosso conhecimento pode tornar-se extenso e significativo, mas nunca será completo. Uma idéia não falsificável é completa em si mesma; pequenos homens verdes podem viver em todos os frigoríficos, mas não podemos saber isso, já que eles desaparecem quando a porta é aberta. O dogma religioso é outro exemplo de uma idéia irrefalsificável, pois parte de seu apelo é que ela tem sua própria resistência interna para responder perguntas sobre sua verdade. Os dogmas estão fora do universo de Gödel porque eles tentam acabar com todas as discussões e testes da verdade, enquanto o universo de Gödel pede que apreciemos o valor prático da imperfeição, serendipidade e selvageria. Abertura: os sistemas legais nunca podem ser mais do que “bons o suficiente”; sistemas políticos que são fechados empobrecem a vida cultural e econômica, e finalmente falham.

Em termos ainda mais simples, como diz Zebrowski, a prova de Gödel pode ser explicada desta forma: uma mulher idosa assiste a um encontro de filósofos preocupados com a natureza do universo e lhes diz que o mundo repousa nas costas de uma tartaruga. O presidente pede a ela que explique o que esta tartaruga representa; ela se arrepia de que ela está no dorso de mais uma tartaruga. “E sobre o que essa tartaruga se sustenta?” exige o presidente. A mulher idosa sacode o dedo e responde: “Você não me engana, filho, são tartarugas até o fim”

Leitura adicional sobre Kurt Gödel

Para um modelo de biografia expositiva, ver Hao Wang, Reflexões sobre Kurt Gödel (1987); também, Pelle Yourgrau, The Disappearance of Time (1991), e John W. Dawson, Logical Dilemmas: The Life and Work of Kurt Gödel. “Life in Gödel’s Universe” de George Zebrowski: Maps All The Way” Omni (abril de 1992) é muito útil para os não matemáticos.


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