Georg Friedrich Bernard Riemann Facts


O matemático alemão Georg Friedrich Bernard Riemann (1826-1866) foi um dos fundadores da geometria algébrica. Seu conceito de espaço geométrico abriu o caminho para a teoria geral da relatividade.<

Em 17 de setembro de 1826, Georg Riemann nasceu em Breselenz. Pouco depois, a família mudou-se para Quickborn, Holstein, onde seu pai, um ministro luterano, assumiu o pastorado. Riemann mais velho rapidamente reconheceu o talento matemático de seu filho mais novo. Quando Georg tinha 10 anos de idade, foi colocado sob um tutor de matemática que logo se viu ultrapassado por seu pupilo.

Riemann tinha planejado uma carreira na Igreja, de acordo com os desejos de seu pai. Em 1846 ele entrou na Universidade de Göttingen como estudante de teologia e filologia. Mas a matemática chamou, e ele provavelmente já havia decidido mudar de idéia, caso seu pai consentisse. Ele pode ter fortalecido seu argumento com uma grande tentativa de provar matematicamente o Gênesis. A prova dificilmente foi válida, mas Riemann sênior apreciou o esforço e deu sua bênção à carreira matemática. Em 1847 Georg se transferiu para a Universidade de Berlim, onde inovadores tão vigorosos como K. G. J. Jacobi, P. G. Lejeune-Dirichlet, J. Steiner e F. G. M. Eisenstein haviam criado uma atmosfera mais animada para o aprendizado. Em 1849, Riemann voltou a Göttingen para se preparar para seus exames de doutorado sob Wilhelm Weber, o famoso eletrodinamicista.

Riemann Superfícies

A dissertação de doutorado de Riemann foi, nas palavras de Karl Friedrich Gauss, o produto de uma “originalidade gloriosamente fértil”. Suas idéias inovadoras foram desenvolvidas em três artigos publicados em 1857. Aqui está uma explicação grosseira da principal novidade:

Um número complexo pode ser representado por um ponto em um avião. Uma função (valor único) de uma variável complexa é uma regra que emparelha cada ponto em um plano com um único ponto

em outro avião. Imagine uma mosca vagando sobre a superfície de uma janela de vidro laminado. Conforme a mosca se move de ponto a ponto, sua sombra se move de ponto a ponto no chão da sala. Cada ponto que a mosca ocupa na janela determina um unique ponto que sua sombra ocupa no chão.

Agora suponha que o piso seja uma superfície altamente reflexiva. A luz que chega atinge o piso e é refletida na parede, e vemos uma segunda imagem de nossa mosca errante. Agora cada posição da mosca na janela determina duas sombras—uma no chão e outra na parede.

Mas isso não é bem assim. Há algumas posições em que a mosca ainda lança apenas uma sombra. Estes são os pontos que lançam a sombra sobre a linha de intersecção entre o chão e a parede. Chamemos estes pontos de pontos de ramificação.

Agora suponha que substituamos a janela de chapa de vidro por duas placas de vidro paralelas (como uma janela dupla para isolamento contra o frio). Dotamos as folhas com as seguintes propriedades mágicas: qualquer objeto na folha externa lançará uma sombra somente sobre o piso, e qualquer objeto na folha interna lançará uma sombra somente sobre a parede. Além disso, unimos as duas folhas ao longo da linha de pontos de ramificação, de modo que agora elas formam uma única superfície. Nossa mosca pode rastejar de uma folha para a outra, mas a cada ponto que ele ocupa na superfície do vidro, mais uma vez corresponde uma localização única de sua sombra.

Isso foi o que Riemann fez para funções de valores múltiplos de uma variável complexa. Suas superfícies restauram a valoração única de funções e, ao mesmo tempo, fornecem um método de representação geométrica dessas funções. Além disso, acontece que as propriedades analíticas de muitas funções são espelhadas pelas propriedades geométricas (topológicas) de suas superfícies associadas de Riemann.

A sua palestra de Göttingen

Após defender com sucesso sua dissertação, Riemann solicitou uma vaga no Observatório de Göttingen, mas não conseguiu o emprego. Em seguida, ele se propôs a se tornar um privatdozent (docente não remunerado) na universidade. Havia dois obstáculos a vencer antes que ele pudesse obter a cátedra: um ensaio probatório e uma palestra experimental perante o corpo docente reunido. O primeiro, um trabalho sobre a série trigonométrica, incluía a definição do “Riemann integral” na forma que aparece nos livros didáticos atuais. O ensaio foi apresentado em 1853.

Para sua palestra de julgamento, Riemann apresentou três títulos possíveis, esperando plenamente que Gauss respeitasse a tradição e designasse um dos dois primeiros. Mas o terceiro tópico era um com o qual o próprio Gauss tinha lutado por muitos anos. Ele estava curioso para ouvir o que Riemann tinha a dizer “Sobre as Hipóteses que Mentem nas Fundações da Geometria”

A palestra que Riemann deu à faculdade de Göttingen em 10 de junho de 1854, é uma das grandes obras-primas da criação e exposição matemática. Riemann teceu e generalizou três descobertas cruciais do século XIX: a extensão da geometria euclidiana a n dimensões; a consistência lógica das geometrias que não são euclidianas; e a geometria intrínseca de uma superfície, em termos de sua métrica e curvatura na vizinhança de um ponto. Em sua síntese, Riemann demonstrou a existência de um número infinito de geometrias diferentes, cada uma das quais poderia ser caracterizada por sua forma diferencial peculiar. Finalmente, ele destacou que a escolha de uma geometria particular para representar a estrutura do espaço físico real era uma questão de física e não de matemática.

O impacto da palestra foi enorme, mas tardio. Riemann elaborou algumas das máquinas analíticas em um livro de memórias de 1861 sobre a condução do calor, mas a palestra em si não foi publicada até 1868. Vinte anos depois, um historiador respeitado observou simplesmente que o artigo “tinha despertado muito interesse e discussão”. Em 1908 o mesmo historiador o chamava de “memórias célebres” que haviam atraído “atenção geral para o tema da geometria não-euclidiana”

“Hipótese de Riemann”

Riemann passou 3 anos como privatdozent. Em 1857 ele foi nomeado professor assistente, e 2 anos mais tarde, quando Dirichlet morreu, Riemann o sucedeu na cadeira de Gauss. Depois de 1860, as honras, incluindo o reconhecimento internacional, vieram rapidamente. Ele morreu em 20 de julho de 1866, em Selasca, Itália.

O gênio especial de Riemann foi a visão penetrante que lhe permitiu ver através de uma massa de detalhes obscuros e perceber intuitivamente os fundamentos submersos de uma teoria. Este talento assombroso era mais óbvio em seu trabalho geométrico, mas a instância mais notável ocorre na teoria analítica dos números. Em um artigo de 1859 sobre números primos, Riemann provou várias propriedades do que veio a ser chamado de “função zeta de Riemann”. Várias outras propriedades da função que ele simplesmente declarou sem prova. Após sua morte, uma nota foi encontrada, dizendo que ele havia deduzido essas propriedades “da expressão dela (a função) que, no entanto, não consegui simplificar o suficiente para publicar”

Até hoje, ninguém tem a menor idéia do que esta “expressão” possa ser. Todas as propriedades, exceto uma, foram comprovadas desde então. A última, agora chamada de “hipótese Riemann”, ainda aguarda seu conquistador, apesar dos esforços de várias gerações de talentosos matemáticos.

Leitura adicional sobre Georg Friedrich Bernard Riemann

A melhor biografia de Riemann em inglês está em Eric T. Bell, Menores da Matemática (1937). Ele é discutido no primeiro volume de Ganesh Prasad, alguns grandes matemáticos do século XIX: Suas vidas e suas obras (1933). O lugar da geometria Riemanniana na teoria da relatividade é discutido em Jagjit Singh, Grandes Idéias da Matemática Moderna: Sua natureza e uso (1959). Para uma introdução não técnica às geometrias não-Euclidianas veja Richard Courant e Herbert Robbins, O que é Matemática? (1941).

Fontes Biográficas Adicionais

Riemann, topologia e física, Boston: Birkhauser, 1987.


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