Comte Joseph Louis Lagrange Facts


Todos os ramos da matemática foram enriquecidos pelas contribuições do matemático francês nascido na Itália, Comte Joseph Louis Lagrange (1736-1813). Ele é mais conhecido por suas formulações analíticas de cálculo de variações e mecânica.<

Joseph Louis Lagrange nasceu em Turim em 25 de janeiro de 1736; ambos seus pais tiveram antepassados franceses, e Lagrange escreveu todas as suas obras em francês. No Colégio de Turim ele estudou clássicos até que, aos 17 anos de idade, seu interesse pela matemática foi despertado pela leitura das memórias de Edmund Halley sobre a utilidade dos métodos analíticos na solução de problemas ópticos. Em dois anos, Lagrange havia feito progressos suficientes para ser nomeado professor de matemática na Escola de Artilharia de Turim.

Após a leitura do trabalho de Leonhard Euler sobre problemas isoperimétricos, Lagrange desenvolveu um método analítico de solução em 1756. Dois anos mais tarde, ele ajudou a fundar uma sociedade que mais tarde se tornou a Academia de Ciências de Turim. Ele contribuiu com muitos trabalhos para suas transações, geralmente descritos como Miscellanea Taurinensia. A Academia de Ciências de Paris premiou Lagrange por seus ensaios sobre a liberação da lua (1764), os satélites de Júpiter (1766), e o problema dos três corpos (1772).

Em 1766 Frederick, o Grande nomeado presidente de Lagrange da Academia de Ciências de Berlim. Quando Frederick morreu em 1786, Lagrange mudou-se para Paris a convite de Luís XVI. Lagrange passou o resto de sua vida em Paris. Os sucessivos governos revolucionários o honraram, e quando a école Polytechnique foi fundada em 1797, Lagrange foi nomeado professor. Ele foi presidente da comissão para a reforma de pesos e medidas e membro do Conselho de Longitude. Napoleão fez dele um senador e um conde. Lagrange, um homem gentil e despretensioso, morreu em 10 de abril de 1813.

Teoria dos Números e Álgebra

Como Euler, Lagrange voltou sua atenção para os muitos resultados que haviam sido declarados sem prova por Pierre de Fermat. Em particular, ele completou o trabalho de Euler sobre a equação Diophantine x2 − ay2 = 1. Lagrange demonstrou que uma solução geral é sempre possível e que todas as soluções podem ser encontradas desenvolvendo √a como uma fração contínua. Ele também provou o teorema de que um número inteiro é um quadrado ou a soma de dois, três ou quatro quadrados, assim como o teorema de Wilson que se n é um prime, (n − 1)! + 1 é um múltiplo de n.

Determinantes de terceira ordem foram usados implicitamente por Lagrange em um livro de memórias de 1773; em particular, ele expressou o quadrado de um determinante como outro determinante. O trabalho sobre a forma quadrática binária ax2 + 2bxy + cy2 levou-o ao resultado de que o discriminante permaneceu inalterado por uma transformação linear particular. Este foi o primeiro passo no desenvolvimento da teoria da invariância algébrica, que encontrou aplicações importantes na teoria geral da relatividade.

Lagrange também semeou a semente de outro ramo importante da matemática, a saber, a teoria dos grupos. A generalidade foi o objetivo característico de todas as suas pesquisas. Ao buscar um método geral de resolução de equações algébricas, ele descobriu que a característica comum das soluções de quadráticas, cúbicos e quartis era a redução destas equações a equações de menor grau. Aplicado a uma equação quíntica, porém, o método levou a uma equação de grau seis. Tentativas de explicar este resultado o levaram a estudar as funções racionais das raízes da equação. As propriedades do grupo simétrico, ou seja, o grupo de permutações das raízes, fornecem a chave para o problema. Lagrange não reconheceu explicitamente os grupos, mas obteve implicitamente algumas das propriedades mais simples, incluindo o teorema conhecido depois dele, que afirma que a ordem de um subgrupo é um divisor da ordem do grupo. évariste Galois introduziu o termo “grupo” e provou que as equações quínticas não eram, em geral, solvíveis por radicais.

Equações Diferenciais

Um primeiro livro de memórias escrito por Lagrange em Turim é dedicado ao problema da propagação do som. Considerando a perturbação transmitida ao longo de uma linha reta, ele reduziu o problema à mesma equação diferencial que surge no estudo das vibrações transversais de uma corda. A forma da curva assumida por tal corda, ele deduziu, pode ser expressa como y =asin mxsin nt. Discutindo soluções anteriores da equação diferencial parcial, ele apoiou Euler ao supor que a restrição de Jean d’Alembert a funções com expansões de Taylor não era necessária. Ele não reconheceu, entretanto, a generalidade da solução de Daniel Bernoulli na forma de uma série trigonométrica. Mais tarde, ele não reconheceu a importância das idéias de J. B. J. Fourier, primeiramente declaradas em 1807, que são fundamentais para a solução de equações diferenciais parciais com determinadas condições de contorno. No entanto, foi Lagrange que, numa série de memórias escritas entre 1772 e 1785, transformou o estudo das equações diferenciais parciais em um ramo definido da matemática; anteriormente, os matemáticos haviam tratado apenas algumas poucas equações particulares sem um método geral. Entre as importantes contribuições de Lagrange para o assunto estava a explicação da relação entre soluções singulares e envelopes.

Cálculo de Variações

Euler deu o nome de cálculo de variações ao novo ramo da matemática que ele inventou para a solução de problemas isoperimétricos. Lagrange pensou que o método empregado por Euler não tinha a simplicidade desejável em um assunto de análise pura; em particular, ele se opôs ao elemento geométrico no método de Euler. Lagrange desenvolveu a teoria, notação e aplicações do cálculo de variações em uma série de memórias publicadas em Miscellanea Taurinensia. Se y = f(x), o valor de y pode ser alterado ou alterando a variável x ou alterando a forma da função. O primeiro tipo de mudança é representado pelo diferencial dy. Lagrange representa o segundo tipo de mudança, a variação, por δy. Em aplicações o problema é essencialmente o de maximizar ou minimizar integrais por variação na forma da função integrada.

As idéias básicas do cálculo de variações são bastante difíceis e não foram completamente compreendidas pelos contemporâneos de Lagrange. Ele não tentou uma justificativa rigorosa dos princípios, mas os resultados justificaram amplamente o método.

Trabalho em Mecânica

Um século separou a publicação de Lagrange’s Mécanique analytique (1788) e Isaac Newton’s Principia

(1687). Com Newton, como Lagrange reconheceu, a mecânica tornou-se uma nova ciência, mas sua caracterização do método de Newton como sintético é uma distorção que infelizmente ainda é amplamente acreditada. A olho nu, a Principia de Newton pode ter a aparência de geometria grega; contudo, o estudo detalhado do texto não deixa dúvidas sobre a base analítica do trabalho. Certamente o próprio Lagrange levou a mecânica analítica à perfeição, embora ele tenha reconhecido Euler como seu precursor na aplicação da análise à mecânica. No prefácio de seu trabalho, Lagrange observou que nenhum diagrama seria encontrado, mas apenas equações algébricas.

O objetivo da Mécanique analytique, sem dúvida o maior trabalho de Lagrange, foi apresentar uma mecânica de aplicabilidade geral baseada em um mínimo de princípios. Além disso, Lagrange considerou os princípios da mecânica como suposições, não verdades eternas, de modo que o objetivo da mecânica não era explicar, mas simplesmente descrever. A Lagrange devemos a primeira sugestão de que isto poderia ser realizado em termos de uma geometria de quatro dimensões.

Com o auxílio do cálculo de variações, Lagrange conseguiu deduzir tanto a mecânica dos sólidos como a dos fluidos do princípio do trabalho virtual e do princípio de D’Alembert. A formulação geral da primeira destas ele atribuiu a Johann Bernoulli. Lagrange não considerou o princípio como um axioma, mas sim como uma expressão geral da lei de equilíbrio deduzida das leis da alavanca e da composição das forças ou, alternativamente, das propriedades das cordas e polias. A estática surgiu então como uma conseqüência da lei das velocidades virtuais. Em uma de suas formulações, o princípio de D’Alembert afirma que as forças externas atuando sobre um conjunto de partículas e as forças efetivas invertidas estão em equilíbrio; os problemas dinâmicos são assim reduzidos à estática e conseqüentemente podem ser resolvidos pela aplicação do princípio das velocidades virtuais.

Em vez de aplicar os princípios a problemas particulares, Lagrange buscou um método geral; isto o levou à idéia de coordenadas generalizadas. A partir de equações dinâmicas ele deduziu o princípio de conservação de vis viva e também o princípio de menos ação, que Euler havia formulado corretamente para o caso especial de uma única partícula. Além disso, Lagrange removeu o mistério que havia cercado o princípio da menor ação, apontando que ele se baseava essencialmente no de vis viva.

Trabalho em Cálculo

Lagrange’s Théorie des fonctions analytiques (1797) foi a mais importante das várias tentativas que foram feitas nesta época para fornecer uma base lógica para o cálculo. Embora admitindo que as operações com diferenciais eram expeditas na solução de problemas, ele acreditava que a compensação de erros estava envolvida neste método. Para evitá-los, ele tentou desenvolver o cálculo por processos puramente algébricos.

Primeiro Lagrange derivado por álgebra da série Taylor, com o restante, para a função f(x + h), e então ele definiu as funções derivadas f′(x), f″(x), … em termos dos coeficientes das potências de h. Sua visão de que este procedimento evitava os conceitos de limites e infinitesimais era na verdade ilusória, pois estas noções entram na questão crítica da convergência, que Lagrange não considerou. Mais uma vez, ele estava enganado ao supor que todas as funções contínuas poderiam ser expandidas na série Taylor. Apesar de seus defeitos, a Théorie des fonctions analytiques de Lagrange foi a primeira teoria das funções de uma variável real e focalizou a atenção na função derivada, como ele a chamou, a quantidade que se tornou o conceito central do cálculo.

Leitura adicional sobre o Comte Joseph Louis Lagrange

Extracts from Lagrange’s work on the theory of equations and the calculus of variations are given in D. J. Struik, A Source Book in Mathematics, 1200-1800 (1969), and an extract on the principle of virtual velocities is given in William Francis Magie, A Source Book in Physics (1935). Uma introdução ao cálculo de variações está em F. B. Hildebrand, Métodos de Matemática Aplicada (1954; 2d ed. 1965). Para um relato legível das equações dinâmicas de Lagrange ver M. R. Spiegel, Mecânica Teórica (1967). Estudos de fundo de matemática que discutem Lagrange são Eric T. Bell, Menores da Matemática (1937); Alfred Hooper, Fabricantes da Matemática (1948); e Herbert Westren Turnbull, Os Grandes Matemáticos (1961).


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