Arquimedes Fatos


O trabalho de Arquimedes (ca. 287-212 a.C.), um matemático grego, foi de grande alcance e levou em parte ao que se tornou o cálculo integral. Ele é considerado um dos maiores matemáticos de todos os tempos.<

Archimedes nasceu provavelmente na cidade portuária de Siracusa, uma colônia grega na ilha da Sicília. Ele era o filho do astrônomo Phidias e possivelmente parente de Hieron, o rei de Siracusa, e seu filho Gelon. Arquimedes estudou em Alexandria, na escola fundada por Euclides e depois se estabeleceu em sua cidade natal.

Para os gregos daquela época, a matemática era considerada uma das artes plásticas—algo sem aplicação prática, mas agradável para o intelecto e agradável para aqueles com o talento e o lazer necessários. Arquimedes não registrou as muitas invenções mecânicas que ele fez a pedido do rei Hieron ou simplesmente para seu próprio prazer, provavelmente porque as considerava de pouca importância em comparação com suas obras puramente matemáticas. Entretanto, essas invenções o tornaram famoso durante sua vida.

fato e fantasia

As muitas histórias contadas por Arquimedes são o protótipo das histórias dos professores dispersos. Um famoso conta como Arquimedes descobriu uma tentativa de fraude contra a Hieron. O rei pediu uma coroa de ouro e deu ao ourives exatamente a quantidade de ouro que ele precisava. O ourives entregou uma coroa com o peso necessário, mas Hieron suspeitou que alguma prata tinha sido usada em vez de ouro. Ele pediu a Archimedes que investigasse o assunto. Uma vez Arquimedes ponderou sobre o assunto enquanto entrava em uma banheira cheia de água. Ele notou que a quantidade de água que passava por cima da banheira era proporcional à quantidade de seu corpo que estava submerso. Isso lhe deu a idéia de resolver o problema da coroa, e ele ficou tão entusiasmado que correu nu pelas ruas gritando repetidamente: “Heureμka, heureμka!” (Eu descobri!)

Há várias maneiras que Arquimedes poderia ter determinado a quantidade de prata na coroa. Um método provável é baseado em um teorema que Arquimedes escreveu mais tarde em um tratado On Floating Bodies, e que corresponde ao que é hoje chamado de princípio de Arquimedes: Um corpo imerso em um líquido é impulsionado por uma força correspondente ao peso do líquido deslocado pelo corpo. Usando este método, ele teria primeiro tomado dois pesos iguais de ouro e prata e comparado seus pesos quando imersos em água. Em seguida, ele teria comparado da mesma forma o peso da coroa e um peso igual de prata pura em água. A diferença entre estas duas comparações indicaria que a coroa não era de ouro puro.

Em outra ocasião, Arquimedes disse a Hieron que ele podia mover qualquer peso com uma certa força. Arquimedes havia estudado as propriedades da alavanca e da polia, e com base nelas ele afirmou: “Dê-me um lugar para ficar de pé e eu posso mover a terra”. Hieron, espantado com isso, pediu uma demonstração física. Um novo navio estava deitado no porto, que não podia ser lançado com a força combinada de todos os siracusanos. Arquimedes usou um dispositivo mecânico que lhe permitia mover o navio, ficando a alguma distância. O dispositivo poderia ter sido uma simples polia composta ou uma máquina em que uma roda dentada com dentes oblíquos se move em uma espiral cilíndrica que é girada com um cabo.

Hieron viu que Arquimedes tinha um grande espírito inventivo em questões práticas como a construção de dispositivos mecânicos.

Uma época de guerra

Marcellus, segundo Plutarco, desistiu da tentativa de tomar a cidade pela força e confiou em um cerco. A cidade capitulou após 8 meses. Marcelo ordenou que os cidadãos de Siracusa não fossem mortos, escravizados ou maltratados. Mas um soldado romano matou Arquimedes. Há vários relatos de sua morte. Uma versão diz que Arquimedes, que agora tem 75 anos, estava sozinho e tão absorto no estudo de um diagrama que não sabia nada sobre a tomada da cidade. Um soldado ordenou que ele fosse até Marcelo, mas Arquimedes não partiria até que ele tivesse resolvido seu problema até o fim. O soldado estava tão furioso que matou Arquimedes. Outra versão é que Arquimedes trouxe a Marcellus uma caixa com seus instrumentos matemáticos como solares, esferas e ângulos adaptados ao tamanho aparente do sol, quando ele foi morto por soldados que pensavam que ele carregava objetos de valor na caixa. “É acordado, porém”, diz Plutarco, “que Marcelo estava em perigo e se afastou do assassino como se fosse uma pessoa contaminada e foi até os parentes de Arquimedes para prestar-lhes homenagem”

Arquimedes tinha pedido a seus parentes para colocar em seu túmulo um desenho de uma esfera inscrita em um cilindro com uma notação indicando a relação do volume do cilindro com o da esfera— uma referência ao que Arquimedes considerava sua maior realização. O estadista e escritor romano Cícero conta que encontrou esta tumba muito mais tarde em um estado de negligência&#p>.

Outras invenções

Arquimedes teria feito observações dos solstícios para determinar a duração do ano, e teria descoberto as distâncias dos planetas. Em O Reckoner de areia ele descreve um dispositivo simples para medir o ângulo que o sol enfrenta o olho do observador.

Contribuições à matemática

Elements tinham catalogado praticamente todos os resultados da geometria grega até a época de Arquimedes. Arquimedes adotou a forma uniforme e estritamente lógica de Euclides: Axiomas, seguidos por teoremas e suas provas. Mas os problemas que Arquimedes enfrentou e suas soluções estavam em um nível diferente de todos aqueles que o precederam.

Elements. No Livro XII o método de exaustão, descoberto por Eudoxus , é usado para formar teoremas em superfícies de círculos e volumes de esferas, pirâmides e cones. Dois dos teoremas são mencionados por Arquimedes no prefácio para Na esfera e no cilindro. Após afirmar o resultado relativo à relação dos volumes de um cilindro e de uma esfera inscrita, ele diz que este resultado pode ser justaposto com suas investigações anteriores e com aqueles teoremas do Eudoxus sobre sólidos, a saber: o volume de uma pirâmide é um terço do volume de um prisma com a mesma base e altura; e o volume de um cone é um terço do volume de um cilindro com a mesma base e altura.

Não houve cálculo direto das áreas e volumes delimitados por diferentes linhas curvas e superfícies, mas sim uma comparação entre elas ou com as áreas e volumes delimitados por figuras lineares, tais como retângulos e prismas. A razão disso é que, para um simples exemplo, a área de um círculo com um raio de comprimento de um não pode ser expressa exatamente por uma fração ou um número inteiro. Entretanto, é possível dizer, como na segunda frase do Livro XII do elementos, que a razão da área de um círculo para outro é exatamente igual à razão dos quadrados de seus diâmetros, ou, de forma mais concisa e mais próxima do grego, os círculos entre si são como os quadrados de seus diâmetros. A prova deste teorema se baseia no fato de que é (teoricamente) possível “esgotar” o círculo inscrevendo sucessivamente nele polígonos cujos lados aumentam em número e que, portanto, se aproximam do círculo. Desta forma, a linha curva, o círculo, pode ser aproximada por uma figura retilínea, um polígono.

Considerando isto, seria fácil concluir que o círculo em si é um polígono com “infinitos” muitos lados “minúsculos”. Já no tempo de Euclides este conceito tinha uma longa história de controvérsia filosófica, começando com os conhecidos paradoxos zenonianos discutidos por Aristóteles. Arquimedes, que está consciente dos problemas lógicos associados a tal afirmação superficial, os evita e procede invulneravelmente em suas provas. Entretanto, um estudante com conhecimentos de cálculo integral moderno acharia o método de Arquimedes muito pesado. Não se deve esquecer, porém, que os teoremas que tornam o trabalho quase trivial para qualquer matemático moderno só foram desenvolvidos nos séculos XVII, XVIII e XIX, cerca de 2000 anos depois de Arquimedes.

Na terminologia moderna, a área de um círculo com um raio de comprimento é o número irracional designado π e embora Arquimedes soubesse que não podia ser calculado com exatidão, ele sabia como aproximá-lo com a precisão que queria. Em seu tratado Measurement of a Circle, with the method of exhaustion, Archimedes prova que π está entre 3 1/7 e 3 10/71 (na verdade é 3.14159).

Números grandes parecem exercer um fascínio próprio. Um provérbio grego comum diz que a quantidade de areia ilude o número, portanto, é infinita. Isto pode parecer particularmente verdadeiro para os gregos, já que seu sistema numérico não continha zero. Os números eram representados por letras do alfabeto, e com grandes números esta notação se torna desajeitada. Em The Sand Reckoner Archimedes refuta a idéia expressa pelo provérbio, inventando uma notação que lhe permite calcular com alguma precisão o número de grãos de areia necessários para preencher o “universo”. Ele assume que o universo é do tamanho de uma esfera cujo centro está sobre a terra e cujo raio é a distância da terra até o sol. Dito isto, ele também aponta para uma visão alternativa do universo expressa por um astrônomo contemporâneo, Aristarco de Samos, ou seja, que o Sol é fixo, a Terra gira em torno do Sol, e as estrelas são fixas muito além da Terra. Dados astronômicos, juntamente com a suposição de que não há mais de 10.000 grãos de areia em um volume do tamanho de uma semente de papoula, formam a base para cálculos que levam à conclusão de que o número de grãos de areia que poderiam ser contidos em uma esfera do tamanho do universo é inferior a 10
51, em notação moderna.

Em conoides e esferóides, Em espirais, e Squadrado da parábola. A primeira trata de volumes de segmentos de tais figuras como o hiperbolóide da revolução. A segunda descreve a espiral conhecida hoje como a espiral Arquimedeana e contém cálculos de área. O terceiro trata de encontrar áreas de segmentos da parábola.

Outro trabalho de Arquimedes em mecânica, além de Em corpos flutuantes mencionada acima, é Em equilíbrio de planos.De postulados tão simples como “Equalizar pesos iguais a distâncias iguais” são determinadas as posições dos centros de gravidade para segmentos parabólicos.

O Método,,. Nele Arquimedes explica um certo método pelo qual é possível investigar alguns dos problemas da matemática com a ajuda da mecânica. “Pois”, escreve Archimedes, “certas coisas primeiro se tornaram claras para mim por um método mecânico, embora tivessem que ser demonstradas posteriormente pela geometria, porque sua investigação pelo referido método não proporcionava realmente uma demonstração”. Portanto, Arquimedes tem o cuidado de distinguir entre uma abordagem heurística de verificação de um teorema e a prova do teorema. O Método>/span> utiliza teoremas de seu tratado mecânico Span>No Equilíbrio de Planos e fornece um excelente exemplo da interação entre matemática pura e matemática aplicada.

Leitura adicional em Archimedes

The Works of Archimedes (1897), que contém um suplemento, The Method of Archimedes (1912). Para informações biográficas ver E. J. Dijksterhuis, Archimedes (1938; trans. 1956). O lugar de Arquimedes no desenvolvimento do cálculo integral é descrito em Carl B. Boyer, A história do cálculo integral e seu desenvolvimento conceitual (1949). Trabalhos em matemática para o leitor geral são Thomas L. Heath, A Manual of Greek Mathematics (1931); Bartel L. van der Waerden, Science Awakening (1950; trans. 1954); e James R. Newman, ed., The World of Mathematics (4 volumes, 1956). Ver também Robert S. Brumbaugh, Ancient Greek Gadgets and Machines (1966).


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